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Resolver problemas envolvendo equação modular requer a aplicação da definição de módulo, geralmente dividimos a equação em dois casos possíveis quando o que está dentro do módulo é positivo e quando o que está dentro do módulo é negativo. Leia também Qual a diferença entre função e equação? Tópicos deste artigo1 - Módulo de um número real2 - Exemplos3 - Como resolver uma equação modular?4 - Exercícios resolvidosMódulo de um número real Módulo de x Para conseguir resolver problemas de equação modular, torna-se necessário relembrar a definição de módulo. O módulo é sempre igual à distância que um número tem até o zero, e, para representar o módulo de um número n, utilizamos a barra reta da seguinte forma n. Para calcular o n, dividimos em dois casos Sendo assim, podemos dizer que n é igual ao próprio n quando ele for um número positivo ou igual a zero, e, no segundo caso, n é igual ao oposto de n se ele for negativo. Lembre-se de que o oposto de um número negativo é sempre positivo, sendo assim, o n tem sempre um resultado igual a um número positivo. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ; Exemplos a 2 = 2 b -1 = -1 = 1 Veja também Como resolver equação logarítmica? Como resolver uma equação modular? Para encontrar a solução de uma equação modular, é necessário analisar cada uma das possibilidades, ou seja, dividir, sempre em dois casos, cada um dos módulos. Além de saber a definição de módulo, para resolver equações modulares, é fundamental que se saiba resolver equações polinomiais. Exemplo 1 x – 3 = 5 Para encontrar a solução dessa equação, é importante relembrar que existem dois resultados possíveis que faz com que n = 5, são eles, n = -5, pois -5 = 5, e também n = 5, pois 5 = 5. Então, usando essa mesma ideia, temos que I → x – 3 = 5 ou II → x – 3 = -5 Resolvendo uma das equações separadamente Resolução I x – 3 = 5 x = 5 + 3 x = 8 Resolução II x – 3 = -5 x = -5 + 3 x = -2 Então existem duas soluções S = {-2, 8}. Note que, se x = 8, a equação é verdadeira, pois x – 3 = 5 8 – 3 = 5 5 = 5 Note também que, se x = -2, a equação também é verdadeira -2 – 3 = 5 -5 = 5 Exemplo 2 2x + 3 = 5 Assim como no exemplo 1, para encontrar a solução, é necessário dividir em dois casos, de acordo com a definição de módulo. I → 2x + 3 = 5 II → 2x + 3 = -5 Resolução I 2x + 3 = 5 2x = 5 – 3 2x = 2 x = 2/2 x = 1 Resolução II 2x + 3 = -5 2x = -5 – 3 2x = -8 x = -8/2 x = -4 Então, o conjunto de soluções é S = {1, -4}. Exemplo 3 x + 3 = 2x – 1 Quando temos a igualdade de dois módulos, precisamos dividir em dois casos 1º caso, primeiro e segundo membro de mesmo sinal. 2º caso, primeiro e segundo membro de sinais opostos. Resolução I Faremos com os dois lados maiores que zero, ou seja, simplesmente tiraremos o módulo. Podemos fazer também com ambos negativos, porém o resultado será o mesmo. X + 3 ≥ 0 → x + 3 = x + 3 2x – 1 ≥ 0 → 2x – 1 = 2x – 1 x + 3 = 2x – 1 x – 2x = -1 – 3 x = -4 -1 x = 4 Resolução II Lados de sinais opostos. Escolheremos um lado para ser positivo, e o outro, negativo. Escolhendo x + 3 ≥ 0 → x + 3 = x + 3 2x – 1 0 → 5x – 6 = 5x – 6 Então, temos que 5x – 6 = x² -x² + 5x – 6 = 0 Vale lembrar que o valor do delta nos diz quantas soluções a equação quadrática possui a = -1 b = 5 c = -6 Δ = b² – 4ac Δ = 5² – 4 -1 -6 Δ = 25 – 24 Δ = 1 Como 1 é positivo, então, nesse caso, existem duas soluções reais. Resolução II 5x – 6 < 0 → 5x – 6 = – 5x – 6 – 5x – 6 = x² – 5x + 6 = x² – x² – 5x + 6 = 0 Δ = b² – 4ac Δ = -5² – 4 -1 +6 Δ = 25 + 24 Δ = 49 Como Δ é positivo nesse caso também, então há duas soluções reais, logo, o total de soluções reais é 4. Questão 2 – PUC SP O conjunto solução S da equação 2x – 1 = x – 1 é A S = {0, 2/3} B S = {0, 1/3} C S = Ø D S = {0, -1} E S = {0, 4/3} Resolução Alternativa A Resolução I 2x – 1 = 2x – 1 Então, temos que 2x – 1 = x – 1 2x – x = – 1 + 1 x = 0 Resolução II 2x – 1 = – 2x – 1 – 2x – 1 = x – 1 -2x + 1 = x – 1 -2x – x = -1 – 1 -3x = -2 -1 3x = 2 x = 2/3 Algebra Examples Popular Problems Algebra Solve for x 4x-3-2x-1>0 Step 1Simplify .Tap for more steps...Step each for more steps...Step the distributive by .Step the distributive by .Step by adding for more steps...Step from .Step and .Step 2Add to both sides of the 3Divide each term in by and for more steps...Step each term in by .Step the left for more steps...Step the common factor of .Tap for more steps...Step the common by .Step the right for more steps...Step by .Step 4The result can be shown in multiple FormInterval Notation

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